Разрыв альтернативы и выписка в никуда - условие покупателя. Стоит ли соглашаться.

У меня альтернатива : продаю двухкомнатную и надо однокомнатную с доплатой. Прописаны двое взрослых, один -собственник.
Покупателей почти нет , хотя цена невысокая.
Пришел сегодня покупатель и сказал, что он со свободными деньгами и готов купить у меня квартиру, но при условии : снижения цены почти на 3 процента, продажи квартиры как свободной и перед продажей чтобы мы выписались в никуда, так как не к кому прописываться.
И сказал, что в Договоре пропишет условие, что после регистрации сделки, мы имеем право жить в проданной квартире, например, месяц. И в течение этого месяца мы будем искать себе квартиру как покупатели со своими деньгами.
Я предложила продать им квартиру не выписываясь, а договоре прописать, что в течение того же месяца обязуемся выписаться и освободить квартиру. Но этот покупатель на это не согласен. Говорит : покупаю за свободные деньги и хочу не рисковать, а купить квартиру свободную юридически и без всяких альтернатив. Дал день на размышление. Вечером позвонит
Я в сомнениях. А может и правда продать на их условиях? Неужели за месяц я не найду квартиру себе? Или есть риск, что они меня выселят сразу из квартиры после регистрации сделки, несмотря на условия договора, разрешающего мне жить там?
Или , как я читала, может сорваться покупка квартиры и я останусь на улице?