Владимир, я бы не стал переживать по этому поводу, так как ДСН заключается наймодателем и нанимателем жилого помещения как минимум в 2-х экземплярах. Один из которых хранится у наймодателя (ст.60,63 ЖК РФ).
Поэтому Вы все правильно сделали и получили копию, заверенную печатью. Оригинал Вам никто не восстановит все равно. Вы никогда не теряли дубликат ПТС? Ситуация просто аналогичная (выдадут с пометкой копия и заверят всеми необходимыми печатями). Смело сдавайте, а как надумаете квартиру продавать вспомните специалистов добрым словом и обратитесь за помощью!)

Более, чем достаточно. В Перечне необходимых для приватизации документов на сайте Портала государственных услуг, а также на сайте ДЖПиЖФ г. Москвы "договор социального найма" отсутствует. Межведомственное взаимодействие, похоже, заработало))
http://pgu. mos. ru/ru/services/procedure/0/0/7700000010000016339
http://housing. mos. ru/privatizatsiya/adresa_priemnykh/
В этой связи, надеюсь, Вам не придется "тратить время/нервы/силы/деньги(?) для восстановления ДСН".

Можно с копией,

Пройдет все и с копией.

Должно пройти нормально.

Обойдутся копией, поскольку у них должен быть свой экземпляр. А еще есть один очень важный с этой точки зрения Федеральный закон от 27 июля 2010 г. N 210-ФЗ "Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг". В случае отказа ДЖП советую мелькнуть умом и пожурить работников ДЖП. На его основании органы, предоставляющие государственные услуги, и органы, предоставляющие муниципальные услуги, не вправе требовать от заявителя представления документов и информации которые находятся в распоряжении органов, предоставляющих государственные услуги, органов, предоставляющих муниципальные услуги, иных государственных органов, органов местного самоуправления либо подведомственных государственным органам или органам местного самоуправления организаций.