Может, но не всю квартиру, а только ее часть, а именно 1/2 доли в праве. Несмотря на то, что квартира оформлена на мужа общую совместную собственность никто не отменял (Гражданский кодекс РФ Статья 256. Общая собственность супругов). 50% в этой квартире по умолчанию принадлежит жене. В завещании может быть указано все, что угодно, в том числе и квартира, но вот только при открытии наследственного дела супружеская доля никуда не денется.
Кроме того, супруга также сможет претендовать на наследственное имущество, даже если будет составлено завещание. Законом предусмотрено право на обязательную долю в наследстве. Все зависит от момента открытия наследства. Подробнее про обязательную долю Вы можете почитать в Гражданском кодексе Статье 1149. Право на обязательную долю в наследстве.

Может, при чём супруга может не знать.
А далее см. Ответ Даниила‌‌‌

Завещать можно всё, даже то, что завещателю не принадлежит, бумага всё стерпит. Но "обойти" жену у наследника не получится.
"Имущество, нажитое супругами во время брака, является их совместной собственностью, если договором между ними не установлен иной режим этого имущества."(ГК РФ Статья 256.1) При этом не имеет значения, ни имя которого из супругов оно оформлено.