Сегодня вечер вопросов по муниципальному жилью)).
Распоряжаться квартирой завещать/дарить/менять/продавать можно тогда, когда квартира находится в собственности. В данный момент квартира принадлежит государству.

Нанимателям надо приватизировать квартиру и только потом ваш дедушка может завещать вам свою долю, либо подарить. Приватизация осуществляется с письменного согласия всех зарегистрированных в ней граждан.
Закон РФ от 04.07.1991 N 1541-1 (ред. от 20.12.2017) "О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации"

Для оформления завещания необходимо оформить право собственности. Право на приватизацию имеют все зарегистрированные в квартире, т.е. пять человек. Кто -то может отказаться от своего права, но имеет право пожизненного проживания в этой квартире. Реализовывайте свои права в полной мере, договаривайтесь со всеми.

права нет, потому что никакой доли нет, а значит и завещать нечего. квартира ГОСУДАРСТВЕННАЯ, и ни дедушка, ни любой из других там прописанных, никакой "доли" в ней не имеют. грубо говоря, они ее снимают, просто не у частного лица, а у государства. поэтому ваш вопрос звучит как "можно ли дедушке завещать внуку долю в снимаемой квартире". ответ, думается, очевиден.

Все пять человек имеют право на приватизацию. В случае смерти дедушки сразу и приватизируют ...на четверых. Вероятно, и не приватизируют, потому как не хотят делиться. Также, наверняка эти четверо не захотят дать согласие на регистрацию внука в квартире. Чтоб не делиться.
Таким образом, или срочно приватизировать квартиру на пятерых (согласие всех зарегистрованных), или срочно прописывать внука (согласие всех зарегистрированных), или - без вариантов.

Если внук будет зарегистрирован в данной квартире, то его не смогут обделить при приватизации даже в случае смерти дедушки до свершения данного процесса.

Вы не собственник, а квартиросъемщик. Соответственно, ничего, никому завещать, дарить, продавать не можете. Сначала приватизируйте квартиру.

Нет, внук не зарегистрирован.

Но, у него нет доли, так как нет собственности. Чтобы завещать долю, надо эту долю сначала получить путем приватизации. Внук зарегистрирован в данной квартире?