После покупки квартиры остались прописанные несовершеннолетние дети

Дети не могут остаться прописанными без родителей. Это нарушение процедуры регистрации. Вы пишете, что в паспортном столе никто не прописан и сами же себе противоречите.
Если же кто-то остался прописанным- только в суд.

Снимал квартиру у девушки, которая была "прописана" одновременно со своим ребёнком в двух местах, а проживала вообще за бугром.

Прекращение регистрационного учета по месту жительства (прописка) возможно двумя способами.
1. В добровольном порядке. В данном случае это должен сделать законный представитель несовершеннолетнего ребенка.
2. В принудительном порядке, через суд.
Какой вариант Вам подходит, такой и выбирайте. По всей видимости Ваш вариант - суд.

Раз с вопросом ничего не понятно, то поделюсь случаем. Работал с женщиной, которая с ребёнком была зарегистрирована по месту жительства в Калужской области, но жила с этим же ребёнком в Москве на основании регистрации по месту прибытия. Спустя пару лет она родила второго ребёнка, поменяла регистрацию по месту прибытия на основную - по месту жительства, встала на учёт с вновь рождённым ребёнком, поставили в паспорте штамп по месту нового жительства и штамп о снятии с рег. учёта по старому адресу. Получается, что первый ребёнок остался зарегистрированным в Калужской области один (мать одиночка). Как-то так получилось! Правда, через два года она и второго ребёнка зарегистрировала в Москве, но все эти два года несовершеннолетний ребёнок был зарегистрирован один.

Там как минимум 1 родитель должен был остаться прописанным. Если их нет в условной 9-ке, то и детей быть не может.

ничего не понятно. "но совершеннолетних выписали по суду, в паспортном столе никто не прописан на данный момент. (...) Детей не выписывают, ведомство говорит на них должно быть решение суда" - так их выписали по суду или нет? что за "ведомство" говорит?