Сколько времени займёт и кто должен платить за квартиру?

Здравствуйте. Обычно решением вопросов возникших на основании чей-то инициативы занимается та сторона, которая эту инициативу проявила. Если Вы хотите нотариальный договор, то Вам этот вопрос решать. Но это так, общая практика. Если интересы продавца будет представлять компетентный риэлтор я думаю он без проблем организует Вам нотариуса. В случае необязательного нотариата и Вашего желания сделки в нотариальной форме расходы на нотариуса несёте Вы.
Нотариальные тарифы можете посмотреть здесь:
Основы законодательства Российской Федерации о нотариате (утв. ВС РФ 11.02.1993 N 4462-1) (ред. от 30.04.2021)
Статья 22.1. Размеры нотариального тарифа

В среднем без риэлтора Вы,боюсь,заплатите больше чем "с"
И времени потратите тоже больше. Потому что риэлтор умеет торговаться, находить хорошие варианты, организовывать сделку как надо и быстро. но это как в том рассказе Жванецкого "Вы можете договориться со специалистом и доплатить. Но можете этого и не делать, если Вас не интересует результат".
А если серьезно, чтобы нормально выбрать и купить квартиру, нужно как минимум месяца полтора.

Если важен срок подготовки сделки, то пророй у нотариуса получается дольше, хотя должно быть наоборот. В любом случае, если проводить сделку через нотариуса -Ваша инициатива, а не обязательная мера в силу закона, то Вы расходы на нотариат и оплачиваете. Инициатива наказуема))))