"Никому не принадлежит" - я пока такого не встречал. Поищите документы: сходите в администрацию, архив, закажите межевое дело, уточните, какие документы есть у соседа на его половину - наверняка что-то найдете. А если не найдете, убедитесь, что это точно Ваш участок (на основании данных межевания) и тогда снесите и не мучайтесь.

Наталья, совсем никакой нет информации по которой можно сделать какие-нибудь выводы. Вы покупали участок в деревне, в каком-нибудь СНТ и пр? Когда покупали участок, что было прописано в договоре купли-продажи? Покупая участок и видя на нем строение, Вы даже не поинтересовались всё ли оно Ваше? Если Вам сказали что только полдома, Вы не уточняли, кто собственник второй половины и где он? На основании что написано, ничего посоветовать нельзя, вернее можно, но это будет одна "вода" или отписка.