Я бы на забор прекратил право собственности и не регистрировал вообще.... смысла нет. Но если Вы хотите все сделать правильно и у вас есть отдельное свидетельство на забор то это считается как реконструкция, а реконструкция идет через разрешение на ввод объекта...т.е. сначало разрешение на реконструкцию а потом разрешение на ввод объекта....ох затратное выйдет мероприятие.

Тоже впервые сталкиваюсь с подобной ситуацией.Если Ваш забор - не эксклюзив с кованными решетками и т.п.,то проще снять объект с регистрации и не париться с последующими делами.Если же право необходимо, то тогда лва варианта:
1. Снять старый с прекращением права и зарегистрировать оставшуюся часть по-новому.
2.Провести "реконструкцию" объекта и внести изменения в ЕГРН.

Что для Вас выгоднее - сложно сказать.Проводила подобные схемы и по первому и по второму варианту,но относительно домов.В одном случае почти год согласовывали изменение площадей.в другом тупо сняли с регучета дом и зарегистрировали его по-новой.

В целом поддерживаю ответ Елены Федоровой, только вместо "БТИ" и "техник" я бы сказал- "кадастровый инженер". Кроме того, вероятно, возможен вариант "реконструкции" забора с уточнением его характеристик в техническом плане, изготовленном кадастровым инженером, без снятия забора с кадастрового и регистрационного учетов. Но и хочется спросить: откуда у Вас такое "счастье" в виде зарегистрированного как объект недвижимости забора и зачем Вы хотите в него дважды вступить?

БТИ - акт обследования( о сносе обьекта ),кадастровая палата- готовый акт с заявлением о ликвидации обьекта,дополнительно заявление о снятии с регестрационного учета.Вызов техника,технический план на новый обьект( если ИЖС,то нужно получить разрешение)готовый технический план -постановка на кадастровый учет с одновременной регистрацией права.От себя-А нужен ли такой забор?)))))))))))